Wyprowadzanie magnetyzmu z elektrostatyki i teorii względności

Wyobraź sobie świat, w którym w ogóle nie było magnetyzmu – tylko siły elektrostatyczne. Okazuje się, że dodając do tego świata prawa specjalnej teorii względności Einsteina i patrząc na wpływ, jaki szczególna teoria względności wywiera na ruchome ładunki, pojawiają się prawa magnetyzmu – po prostu łącząc ze sobą elektrostatykę i teorię względności.

Innymi słowy, poruszające się elektrony w cewkach silnika elektrycznego widzą świat z innej ramy odniesienia niż atomy miedzi tworzące uzwojenia silnika – i to właśnie brak równowagi powoduje, że silnik się obraca!

W Internecie jest wiele rzeczy, ale trudno mi to przetworzyć, ponieważ dotyczy ogólnych zależności między polami magnetycznymi i elektrycznymi, a nie konkretnych przykładów. Jestem pewien, że jest to w rzeczywistości bardzo ogólne i przydatne, ale także poza moim bezpośrednim zrozumieniem. Próbowałem więc podejść do problemu na swój własny sposób, stosując specjalną teorię względności i fizykę na poziomie szkoły średniej, i to działa!

Przetłumaczyłem tę stronę za pomocą automatycznego narzędzia do tłumaczenia, więc prawdopodobnie jest wiele błędów. Sugerujemy poprawki w komentarzach!

0. Prawo siły Ampère’a: rezultat, do którego dążymy

Naszym celem jest jak najbardziej podstawowe sformułowanie prawa siły Ampère’a, które daje siłę magnetyczną między dwoma równoległymi drutami:

\displaystyle F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi y}

Gdzie \mu_0 jest przenikalność magnetyczna próżni, I_1 i I_2 są prądami przez dwa przewody, \ell to długość drutów, a y to odległość między dwoma drutami.

Warto zauważyć, że powyższy wzór obowiązuje tylko wtedy, gdy pierwszy drut ma długość \ell, a drugi drut ma nieskończoną długość. Jest to wygodne, ponieważ całki nieskończone i tak mają tendencję do lepszego działania.

(To samo równanie jest często używane do obliczenia siły między dwoma drutami o długości \ell, ale jest to dokładne tylko wtedy, gdy \ell jest znacznie większe niż y.)

1. Nasz pierwszy aksjomat: prawo Coulomba

Siła na punkcie z ładunkiem q_1 z powodu innego punktu z ładunkiem q_2 w próżni jest podana przez prawo Coulomba:

\displaystyle F_{1} = \frac{-q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

gdzie \varepsilon_0 jest stałą elektryczną, a r jest odległością między dwoma punktami. Ta siła jest przyciąganiem, jeśli jest dodatnia, odpychaniem, jeśli jest ujemna. Jeśli przejdziemy do współrzędnych kartezjańskich, podstawiając \displaystyle r^2=x^2+y^2 , pionowy składnik siły daje

\displaystyle F_{1y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{-q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2+y^2)}

Termin ten reprezentuje siłę pionową między elektronem lub protonem w górnym przewodzie a elektronem lub protonem w dolnym przewodzie. Możemy również wymyślić komponent poziomy F_x, ale ostatecznie zostałby anulowany.

2. Atrakcje elektrostatyczne z ładunkami rozłożonymi wzdłuż linii

Następnie musimy przejąć ładunek q_2 i zastąpić go nieskończoną, równomiernie rozłożoną poziomą linią ładunku. Każda jednostka długości linii ma ładunek k_2. Nazwiemy tę siłę F_{2y}. Reprezentuje siłę między elektronem lub protonem w górnym przewodzie, a wszystkimi elektronami lub wszystkimi protonami w dolnym przewodzie. Termin wewnątrz całki jest taki sam jak F_{1y} powyżej, ale z dolnym punktem ładunek q_2 zastąpiony przez ładunek na nieskończenie małej długości linii ładunku: k_2 \mathrm{d}x.

\begin{array}{rcl}  F_{2y} & = & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{-q_1 k_2 \mathrm{d}x}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2+y^2)} \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{-q_1 k_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac32}} \,\mathrm{d}x \end{array}

W tym miejscu rachunek staje się zabawny: ta całka wygląda dość nieprzyjemnie. Ale określenie przypominające hipotonię sprawia, że wygląda na podatne na podstawienie trygonometryczne:

\displaystyle x = y \tan \theta \, , \,\,\,\, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta} = \frac{y}{ \cos^2 \theta}

Przydaje się również następująca tożsamość:

\displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}

W rezultacie otrzymujemy:

\begin{array}{rcl}  F_{2y} & = & \displaystyle \frac{-q_1 k_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\frac\pi{2}}^{\frac\pi{2}} \frac{y^2}{\cos^2 \theta \left(y^2 \tan^2 \theta +y^2\right)^{\frac32}} \,\mathrm{d}\theta \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{-q_1 k_2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{-\frac\pi{2}}^{\frac\pi{2}} \frac{\cos \theta}{y} \,\mathrm{d}\theta \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{-q_1 k_2}{4 \pi \varepsilon_0 y} \left( \sin \frac\pi{2} - \sin \frac{-\pi}{2} \right) \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{-q_1 k_2}{2 \pi \varepsilon_0 y}  \end{array}

Teraz możemy wziąć najwyższy ładunek i rozłożyć go wzdłuż linii – chociaż tym razem linia ma skończoną długość. Tym razem podstawiamy q_1 na k_1 \mathrm{d}x. Ponieważ całka nie jest funkcją x, ta całka jest trywialna:

\displaystyle F_y = \int_{0}^{\ell} \frac{-k_1 k_2}{2 \pi \varepsilon_0 y} \, \mathrm{d}x = \frac{-k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y}

Jesteśmy już w połowie drogi i jeszcze nie dotknęliśmy względności, magnetyzmu, a nawet żadnego ruchu. Ale mamy wyrażenie siły elektrostatycznej między dwiema liniami równomiernie rozłożonego ładunku, której będziemy potrzebować później.

3. Szczególna teoria względności: skurcz długości

Teoria szczególnej teorii względności Einsteina stwierdza, że gdy nieruchomy obiekt porusza się, obserwator stacjonarny widzi dziwne efekty – zegar na poruszającym się obiekcie wydaje się działać powoli (dylatacja czasu), a obiekt wydaje się być ściśnięty wzdłuż kierunku, w którym się porusza (skrócenie Lorentza). Skrócenie Lorentza jest opisany następująco:

\displaystyle L=\frac{L_{0}}{\gamma(v)}

Where L_0 is the length of an object at rest and L is the observed length of the object when moving at velocity v. The Lorentz factor is given by:

Gdzie L_0 jest długością obiektu w spoczynku, a L jest obserwowaną długością obiektu podczas ruchu z prędkością v. Czynnik Lorentza jest określony przez:

\displaystyle \gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Dlaczego więc skurcz długości ma jakiekolwiek znaczenie dla ładunków przemieszczających się w dół drutu? Rozważmy górny drut, który ma kulombowski ładunek k_1 na jednostkę długości. Część długości L_0 będzie zawierać ładunek L_0 k_1. Kiedy prąd zacznie płynąć, ta sekcja ładunku zacznie się poruszać – i w konsekwencji będzie się kurczyć zgodnie z powyższym wzorem. Oznacza to, że opłaty będą wydawać się ściślej powiązane, ponieważ ta sama ilość opłaty jest teraz pakowana w zakontraktowaną długość. Nowa kwota opłaty na jednostkę długości będzie wynosić:

\displaystyle k'_1 =  \frac{L_0 k_1}{L} = k_1 \gamma(v)

Jest to centralny punkt tego postu – jeśli zaczniesz od drutu, który jest idealnie neutralny (tj. Ładunki są zrównoważone), po prostu zezwalanie na przepływ prądu przez drut spowoduje, że elektrony będą się wiązać, podczas gdy protony pozostanie w bezruchu. Ta nierównowaga prowadzi do pojawienia się na przewodzie ładunku ujemnego netto! To wszystko przy założeniu, że obserwujesz ze stacjonarnego układu odniesienia (w odniesieniu do protonów w przewodzie). Jeśli poruszasz się z tą samą prędkością co elektrony, to protony będą się poruszać, i zebranie się, a zobaczysz dodatni ładunek netto na przewodzie.

Przekonamy się później, że prędkość ładunków w przewodzie jest bardzo mała, więc aproksymacja współczynnika Lorentza pierwszego rzędu jest akceptowalna. Ponieważ gradient 1 / \sqrt{1 - x^2} w punkcie x = 0 wynosi \frac12, możemy zastosować następujące przybliżenie:

\displaystyle \displaystyle \gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \simeq 1 + \frac{v^2}{2c^2}

4. Prędkość dryfu elektronów w przewodnikach

Aby obliczyć wielkość skurczu ładunku, musimy znać prędkość elektronów w drucie. Jeśli jedna jednostka drutu zawiera wolne elektrony o sumie ładunku k_1, a prędkość elektronów wynosi v_1, wówczas całkowity ładunek poruszający się na jednostkę czasu wynosi:

\displaystyle I_1 = k_1 v_1

5. Łącząc wszystko razem

Teraz zsumujmy siły działające na górny drut. Najpierw protony w górnym przewodzie. Protony są w spoczynku, więc widzą świat ze stacjonarnego układu odniesienia. Protony w dolnym drucie są również w spoczynku, więc względna siła odpychająca działająca na protony dolnego drutu nie ma wpływu:

 \displaystyle F_{++} =  \frac{-k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y}

Elektrony w dolnym drucie poruszają się jednak z prędkością v_2, więc przyciąganie między górnymi protonami i dolnymi elektronami jest zwiększane:

 \displaystyle F_{+-} =  \frac{k_1 k_2 \gamma(v_2) \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y}

Co dalej widzą elektrony w górnym przewodzie? Podróżujemy teraz wraz z tymi elektronami, więc protony w dolnym przewodzie wydają się poruszać do tyłu w v_1:

 \displaystyle F_{-+} =  \frac{k_1  k_2 \gamma(-v_1)\ell}{2 \pi \varepsilon_0 y}

A elektrony w dolnym przewodzie wydają się poruszać z prędkością v_2 - v_1:

 \displaystyle F_{- -} =  \frac{-k_1 k_2 \gamma(v_2-v_1) \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y}

Całkowita siła działająca na górny drut jest sumą tych czterech składników:

\begin{array}{rcl}  F_{\mathrm{total}} & = & \displaystyle \frac{-k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} + \frac{k_1 k_2 \gamma(v_2) \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} + \frac{k_1  k_2 \gamma(-v_1)\ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} + \frac{-k_1 k_2 \gamma(v_2-v_1) \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{-k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} \left( 1 +  \gamma(v_2-v_1) -  \gamma(v_2) -  \gamma(-v_1) \right) \end{array}

Stosowanie przybliżenia współczynnika Lorentza z sekcji 3:

\begin{array}{rcl}  F_{\mathrm{total}} & = & \displaystyle \frac{-k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} \left( 1 +  \left( 1 + \frac{(v_2-v_1)^2}{2c^2} \right) - \left(1+ \frac{v_2^2}{2c^2}\right) - \left(1+ \frac{v_1^2}{2c^2}\right) \right) \\[20pt]  & = & \displaystyle \frac{k_1 k_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 y} \left( \frac{v_1v_2}{c^2} \right) \end{array}

Uwzględnienie wyrażenia dla prądu z sekcji 4:

 \displaystyle  F_{\mathrm{total}} =  \frac{I_1 I_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 c^2 y}

I stosując definicję stałej elektrycznej \displaystyle \varepsilon_0 = \frac1{\mu_0 c^2}:

 \displaystyle  F_{\mathrm{total}} =  \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi y}

I oto masz – połącz elektrostatykę ze specjalną teorią względności, a skończysz na formule magnetycznej z sekcji 0.

Implikacje

Chociaż specjalna teoria względności była wielokrotnie weryfikowana eksperymentalnie, często są to niewiarygodnie czułe przyrządy (zwykle zegary atomowe) poruszające się z dużą prędkością wykonując pomiary. Innym razem są to obserwacje astronomiczne. Nawet cudowny punkt, w którym system GPS gwałtownie się rozpadł (tracąc 10 km dokładności dziennie) bez uwzględnienia teorii względności, wydaje się nie z tego świata (dosłownie). Idea, że stosunkowo znana siła magnetyzmu jest efektem ubocznym względności, wydaje się znacznie bliższa domowi.

Bardziej zdumiewające jest to, że dzieje się tak pomimo niesamowicie niskich prędkości. Skurcz długości wynoszący zaledwie 0,1% wymaga prędkości 13 400 000 m / s. Chociaż sygnały elektryczne płyną wzdłuż drutu z bardzo dużą prędkością, same nośniki ładunku dryfują bardzo powoli – różnica jest bardzo podobna do prędkości dźwięku w powietrzu w stosunku do prędkości wiatru. Drut miedziany o średnicy 1 mm przenoszący 3 A ma prędkość dryfu około 1 metra na godzinę. Przy tej prędkości współczynnik Lorentza i pozorna nierównowaga ładunku wynoszą 1 + 4,3 × 1025. To ponad 0,000000000000000000000043%. A jednak to wszystko, co musisz dać sile elektrostatycznej, aby mogła ona prowadzić samochód elektryczny – pokazuje tylko, jak niesamowicie silna jest siła elektrostatyczna.

Rozłóż dwa normalne druty miedziane o średnicy 1 mm o długości 1 metra i 1 metr od siebie. Gdybyście usunęli atomy miedzi, pozostawiając po sobie tylko wolne elektrony, odpychanie elektrostatyczne między dwoma pozostałymi obłokami elektronów byłoby warte około 1017 kilogramów – wystarczyło by podnieść mały księżyc. Jakoś te absurdalnie wielkie i małe liczby mnożą się razem, aby dać umiarkowaną siłę magnetyczną, której używamy na co dzień.

Z drugiej strony od dawna uważam, że zarówno magnetyzm, jak i szczególna teoria względności są nieco tajemnicze i dziwne. W pewien sposób pocieszające jest to, że jedno z nich jest tylko efektem ubocznym drugiego – jedna rzecz, która nie pozwala mi zasnąć w nocy.

Share
Leave a comment

1 Comment

  1. Andrzej

     /  March 9, 2020

    Hi Robert,
    Your text is translated correctly in ~90%. I am happy to make corrections, but there are so many that I would prefer to send you the corrected text as an email attachment. The amendments are sometimes minor, such as word order, but sometimes related to the particular nomenclature used in Poland.
    It would be better if I could send you the corrected text to your direct email.
    Andrzej

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *