Wyobraź sobie świat, w którym w ogóle nie było magnetyzmu – tylko siły elektrostatyczne. Okazuje się, że dodając do tego świata prawa specjalnej teorii względności Einsteina i patrząc na wpływ, jaki szczególna teoria względności wywiera na ruchome ładunki, pojawiają się prawa magnetyzmu – po prostu łącząc ze sobą elektrostatykę i teorię względności.

Innymi słowy, poruszające się elektrony w cewkach silnika elektrycznego widzą świat z innej ramy odniesienia niż atomy miedzi tworzące uzwojenia silnika – i to właśnie brak równowagi powoduje, że silnik się obraca!

W Internecie jest wiele rzeczy, ale trudno mi to przetworzyć, ponieważ dotyczy ogólnych zależności między polami magnetycznymi i elektrycznymi, a nie konkretnych przykładów. Jestem pewien, że jest to w rzeczywistości bardzo ogólne i przydatne, ale także poza moim bezpośrednim zrozumieniem. Próbowałem więc podejść do problemu na swój własny sposób, stosując specjalną teorię względności i fizykę na poziomie szkoły średniej, i to działa!

0. Prawo siły Ampère’a: rezultat, do którego dążymy

Naszym celem jest jak najbardziej podstawowe sformułowanie prawa siły Ampère’a, które daje siłę magnetyczną między dwoma równoległymi drutami:

Gdzie jest przenikalność magnetyczna próżni, i są prądami przez dwa przewody, to długość drutów, a to odległość między dwoma drutami.

Warto zauważyć, że powyższy wzór obowiązuje tylko wtedy, gdy pierwszy drut ma długość , a drugi drut ma nieskończoną długość. Jest to wygodne, ponieważ całki nieskończone i tak mają tendencję do lepszego działania.

(To samo równanie jest często używane do obliczenia siły między dwoma drutami o długości , ale jest to dokładne tylko wtedy, gdy jest znacznie większe niż .)

1. Nasz pierwszy aksjomat: prawo Coulomba

Siła na punkcie z ładunkiem z powodu innego punktu z ładunkiem w próżni jest podana przez prawo Coulomba:

gdzie jest stałą elektryczną, a jest odległością między dwoma punktami. Ta siła jest przyciąganiem, jeśli jest dodatnia, odpychaniem, jeśli jest ujemna. Jeśli przejdziemy do współrzędnych kartezjańskich, podstawiając , pionowy składnik siły daje

Termin ten reprezentuje siłę pionową między elektronem lub protonem w górnym przewodzie a elektronem lub protonem w dolnym przewodzie. Możemy również wymyślić komponent poziomy , ale ostatecznie zostałby anulowany.

2. Atrakcje elektrostatyczne z ładunkami rozłożonymi wzdłuż linii

Następnie musimy przejąć ładunek i zastąpić go nieskończoną, równomiernie rozłożoną poziomą linią ładunku. Każda jednostka długości linii ma ładunek . Nazwiemy tę siłę . Reprezentuje siłę między elektronem lub protonem w górnym przewodzie, a wszystkimi elektronami lub wszystkimi protonami w dolnym przewodzie. Termin wewnątrz całki jest taki sam jak powyżej, ale z dolnym punktem ładunek zastąpiony przez ładunek na nieskończenie małej długości linii ładunku: .

W tym miejscu rachunek staje się zabawny: ta całka wygląda dość nieprzyjemnie. Ale określenie przypominające hipotonię sprawia, że wygląda na podatne na podstawienie trygonometryczne:

Przydaje się również następująca tożsamość:

W rezultacie otrzymujemy:

Teraz możemy wziąć najwyższy ładunek i rozłożyć go wzdłuż linii – chociaż tym razem linia ma skończoną długość. Tym razem podstawiamy na . Ponieważ całka nie jest funkcją , ta całka jest trywialna:

Jesteśmy już w połowie drogi i jeszcze nie dotknęliśmy względności, magnetyzmu, a nawet żadnego ruchu. Ale mamy wyrażenie siły elektrostatycznej między dwiema liniami równomiernie rozłożonego ładunku, której będziemy potrzebować później.

3. Szczególna teoria względności: skurcz długości

Teoria szczególnej teorii względności Einsteina stwierdza, że gdy nieruchomy obiekt porusza się, obserwator stacjonarny widzi dziwne efekty – zegar na poruszającym się obiekcie wydaje się działać powoli (dylatacja czasu), a obiekt wydaje się być ściśnięty wzdłuż kierunku, w którym się porusza (skrócenie Lorentza). Skrócenie Lorentza jest opisany następująco:

Where is the length of an object at rest and is the observed length of the object when moving at velocity . The Lorentz factor is given by:

Gdzie jest długością obiektu w spoczynku, a jest obserwowaną długością obiektu podczas ruchu z prędkością . Czynnik Lorentza jest określony przez:

Dlaczego więc skurcz długości ma jakiekolwiek znaczenie dla ładunków przemieszczających się w dół drutu? Rozważmy górny drut, który ma kulombowski ładunek na jednostkę długości. Część długości będzie zawierać ładunek . Kiedy prąd zacznie płynąć, ta sekcja ładunku zacznie się poruszać – i w konsekwencji będzie się kurczyć zgodnie z powyższym wzorem. Oznacza to, że opłaty będą wydawać się ściślej powiązane, ponieważ ta sama ilość opłaty jest teraz pakowana w zakontraktowaną długość. Nowa kwota opłaty na jednostkę długości będzie wynosić:

Jest to centralny punkt tego postu – jeśli zaczniesz od drutu, który jest idealnie neutralny (tj. Ładunki są zrównoważone), po prostu zezwalanie na przepływ prądu przez drut spowoduje, że elektrony będą się wiązać, podczas gdy protony pozostanie w bezruchu. Ta nierównowaga prowadzi do pojawienia się na przewodzie ładunku ujemnego netto! To wszystko przy założeniu, że obserwujesz ze stacjonarnego układu odniesienia (w odniesieniu do protonów w przewodzie). Jeśli poruszasz się z tą samą prędkością co elektrony, to protony będą się poruszać, i zebranie się, a zobaczysz dodatni ładunek netto na przewodzie.

Przekonamy się później, że prędkość ładunków w przewodzie jest bardzo mała, więc aproksymacja współczynnika Lorentza pierwszego rzędu jest akceptowalna. Ponieważ gradient w punkcie wynosi , możemy zastosować następujące przybliżenie:

4. Prędkość dryfu elektronów w przewodnikach

Aby obliczyć wielkość skurczu ładunku, musimy znać prędkość elektronów w drucie. Jeśli jedna jednostka drutu zawiera wolne elektrony o sumie ładunku , a prędkość elektronów wynosi , wówczas całkowity ładunek poruszający się na jednostkę czasu wynosi:

5. Łącząc wszystko razem

Teraz zsumujmy siły działające na górny drut. Najpierw protony w górnym przewodzie. Protony są w spoczynku, więc widzą świat ze stacjonarnego układu odniesienia. Protony w dolnym drucie są również w spoczynku, więc względna siła odpychająca działająca na protony dolnego drutu nie ma wpływu:

Elektrony w dolnym drucie poruszają się jednak z prędkością , więc przyciąganie między górnymi protonami i dolnymi elektronami jest zwiększane:

Co dalej widzą elektrony w górnym przewodzie? Podróżujemy teraz wraz z tymi elektronami, więc protony w dolnym przewodzie wydają się poruszać do tyłu w :

A elektrony w dolnym przewodzie wydają się poruszać z prędkością :

Całkowita siła działająca na górny drut jest sumą tych czterech składników:

Stosowanie przybliżenia współczynnika Lorentza z sekcji 3:

Uwzględnienie wyrażenia dla prądu z sekcji 4:

I stosując definicję stałej elektrycznej :

I oto masz – połącz elektrostatykę ze specjalną teorią względności, a skończysz na formule magnetycznej z sekcji 0.

Implikacje

Chociaż specjalna teoria względności była wielokrotnie weryfikowana eksperymentalnie, często są to niewiarygodnie czułe przyrządy (zwykle zegary atomowe) poruszające się z dużą prędkością wykonując pomiary. Innym razem są to obserwacje astronomiczne. Nawet cudowny punkt, w którym system GPS gwałtownie się rozpadł (tracąc 10 km dokładności dziennie) bez uwzględnienia teorii względności, wydaje się nie z tego świata (dosłownie). Idea, że stosunkowo znana siła magnetyzmu jest efektem ubocznym względności, wydaje się znacznie bliższa domowi.

Bardziej zdumiewające jest to, że dzieje się tak pomimo niesamowicie niskich prędkości. Skurcz długości wynoszący zaledwie 0,1% wymaga prędkości 13 400 000 m / s. Chociaż sygnały elektryczne płyną wzdłuż drutu z bardzo dużą prędkością, same nośniki ładunku dryfują bardzo powoli – różnica jest bardzo podobna do prędkości dźwięku w powietrzu w stosunku do prędkości wiatru. Drut miedziany o średnicy 1 mm przenoszący 3 A ma prędkość dryfu około 1 metra na godzinę. Przy tej prędkości współczynnik Lorentza i pozorna nierównowaga ładunku wynoszą 1 + 4,3 × 10²⁵. To ponad 0,000000000000000000000043%. A jednak to wszystko, co musisz dać sile elektrostatycznej, aby mogła ona prowadzić samochód elektryczny – pokazuje tylko, jak niesamowicie silna jest siła elektrostatyczna.

Rozłóż dwa normalne druty miedziane o średnicy 1 mm o długości 1 metra i 1 metr od siebie. Gdybyście usunęli atomy miedzi, pozostawiając po sobie tylko wolne elektrony, odpychanie elektrostatyczne między dwoma pozostałymi obłokami elektronów byłoby warte około 10¹⁷ kilogramów – wystarczyło by podnieść mały księżyc. Jakoś te absurdalnie wielkie i małe liczby mnożą się razem, aby dać umiarkowaną siłę magnetyczną, której używamy na co dzień.

Z drugiej strony od dawna uważam, że zarówno magnetyzm, jak i szczególna teoria względności są nieco tajemnicze i dziwne. W pewien sposób pocieszające jest to, że jedno z nich jest tylko efektem ubocznym drugiego – jedna rzecz, która nie pozwala mi zasnąć w nocy.